Question

12．已知O點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，向量$\overrightarrow{OA}$=（1，2，1），$\overrightarrow{OB}$=（2，1，3），$\overrightarrow{OC}$=（1，0，-1）．
（1）求三角形ABC的面積；
（2）若點(diǎn)M在直線OC上運(yùn)動，求$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的最小值及此時$\overrightarrow{OM}$的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由已知求出$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BC}$，從而求出$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞$，進(jìn)而得到sin＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$＞，再由三角形ABC的面積S=$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{AC}|×sin＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞$，能求出三角形ABC的面積．
（2）設(shè)$\overrightarrow{OM}=t\overrightarrow{OC}$，0≤t≤1，則M（t，0，-t），從而$\overrightarrow{MA}$=（1-t，2，1+t），$\overrightarrow{MB}$=（2-t，1，3+t），由此能求出$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的最小值及此時$\overrightarrow{OM}$的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵O點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，向量$\overrightarrow{OA}$=（1，2，1），$\overrightarrow{OB}$=（2，1，3），$\overrightarrow{OC}$=（1，0，-1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，-1，2），$\overrightarrow{AC}$=（0，-2，-2），$\overrightarrow{BC}$=（-1，-1，-4），
$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞$=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{0+2-4}{\sqrt{6}•\sqrt{8}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
sin＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$＞=$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{3}}{6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{33}}{6}$，
∴三角形ABC的面積S=$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{AC}|×sin＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞$=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{8}×\frac{\sqrt{33}}{6}$=$\sqrt{11}$．
（2）設(shè)$\overrightarrow{OM}=t\overrightarrow{OC}$，0≤t≤1，則M（t，0，-t），
∵$\overrightarrow{MA}$=（1-t，2，1+t），$\overrightarrow{MB}$=（2-t，1，3+t），
$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（1-t）（2-t）+2+（1+t）（3+t）=2t²+t+7=2（t+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{55}{8}$，
∴t=0時，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$取最小值7，此時$\overrightarrow{OM}$的坐標(biāo)為（0，0，0）．

點(diǎn)評 本題考查三角形面積的求法，考查兩向量的數(shù)量積的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式的合理運(yùn)用．