Question

如圖，C，D是兩個(gè)小區(qū)的所在地，C，D到一條公路AB的垂直距離CA=1km，DB=2km，AB兩端之間的距離為4km．某公交公司將在AB之間找一點(diǎn)N，在N處建造一個(gè)公交站臺(tái)．
（1）設(shè)AN=x，試寫出用x表示∠CND正切的函數(shù)關(guān)系式，并給出x的范圍；
（2）是否存在x，使得∠CND與∠DNB相等．若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）把∠CNA與∠DNB的正切值用含有x的代數(shù)式表示，再把∠CND的正切值用含有x的代數(shù)式表示；
（2）假設(shè)存在，由∠CND=∠CNA，即

4+x

x2-4x+2

=

2

4-x

，即可求出x的值．

解答： 解：（1）由題知，令∠CNA=α，∠BND=β，
則tan∠CNA=

1

x

，tan∠BND=

2

4-x

，…（4分）
所以tan∠CND=tan(π-α-β)=-tan(α+β)=-

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

…（8分）
=

4+x

x2-4x+2

（0＜x＜4，且x≠2-

2

，x≠2+

2

）              …（12分）
（2）假設(shè)存在，由∠CND=∠CNA，
即

4+x

x2-4x+2

=

2

4-x

，…（14分）
解之得x1=

4- 47

3

＜0（舍），x2=

4+ 47

3

＜4滿足題意．
所以x=

4+ 47

3

．              …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，是中檔題．