Question

18．已知拋物線y²=2px的焦點為F（1，0），A，B，C是拋物線上不同的三點（其中B在x軸的下方），且2|FB|=|FA|+|FC|，$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，則點B到直線AC的距離為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$可知F為△ABC的重心，根據(jù)拋物線的性質(zhì)和重心坐標公式求出A，B，C的坐標，得出AC方程，從而求出B到AC的距離．

解答 解：拋物線方程為y²=4x．準線方程為x=-1．
∵$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，∴F為△ABC的重心．
∴x_A+x_B+x_C=3，y_A+y_B+y_C=0．
∴|FA|+|FB|+|FC|=x_A+1+x_B+1+x_C+1=6．
∵2|FB|=|FA|+|FC|，∴|FB|=2，|FA|+|FC|=2．
∵B在x軸的下方，∴B（1，-2）．∴x_A+x_C=2，y_A+y_C=2．
∵${x}_{A}=\frac{{{y}_{A}}^{2}}{4}$，x_c=$\frac{{{y}_{c}}^{2}}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{y}_{A}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{C}}^{2}}{4}=2}\\{{y}_{A}+{y}_{C}=2}\end{array}\right.$，解得y_A=1+$\sqrt{3}$，y_C=1-$\sqrt{3}$．
∴x_A=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x_c=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴直線AC的方程為：y=2x-1．即2x-y-1=0．
∴B到直線AC的距離d=$\frac{|2+2-1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{5}}{5}$

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，三角形重心的性質(zhì)，點到直線的距離，屬于中檔題．