Question

13．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）在左焦點(diǎn)為F₁（-c，0），有頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，現(xiàn)過A點(diǎn)作直線F₁B的垂線，垂足為T，若直線OT（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為-$\frac{3b}{c}$，則該橢圓的離心率的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由直線BF₁方程和直線OT方程聯(lián)立求得T點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線AT的斜率，AT⊥BF₁得：直線的斜率的乘積為-1，即可解得e的值．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），A、B和F₁點(diǎn)坐標(biāo)為：（a，0）、（b，0），（-c，0），
∴直線BF₁的方程是$y=\frac{c}x+b$，
OT的方程為$y=-\frac{3b}{c}x$，聯(lián)立解得T點(diǎn)坐標(biāo)為$（-\frac{c}{4}，\frac{3b}{4}）$，
直線AT的斜率為$\frac{-3b}{4a+c}$，
由AT⊥BF₁得$\frac{-3b}{4a+c}•\frac{c}=-1$，
∵a²=b²+c²，e=$\frac{c}{a}$，
解得$e=\frac{1}{2}$．
故答案選：C．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用方程的思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．