Question

【題目】設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Sn ，且滿足：
① ；② ，其中 且 ．
（1）求p的值；
（2）數(shù)列 能否是等比數(shù)列？請(qǐng)說明理由；
（3）求證：當(dāng)r 2時(shí)，數(shù)列 是等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）n 1時(shí)， ，

因?yàn)? ，所以 ，

又 ，所以p 1．

（2）

不是等比數(shù)列．理由如下：

假設(shè) 是等比數(shù)列，公比為q，

當(dāng)n 2時(shí)， ，即 ，

所以 （i）

當(dāng)n 3時(shí)， ，即 ，

所以 ， （ii）

由（i）（ii）得q 1，與 矛盾，所以假設(shè)不成立．

故 不是等比數(shù)列．

（3）

當(dāng)r 2時(shí)，易知 ．

由 ，得

時(shí)， ， ①

，②

②-①得， ，

即 ，

，

即

……

，

所以

令 d，則 ．

所以 .

又 時(shí)，也適合上式，

所以 ．

所以 ．

所以當(dāng)r 2時(shí)，數(shù)列 是等差數(shù)列．

【解析】（1.）將n=1代入②得 分析可知只能是 =0，可算出p
（2.）假設(shè)是等比數(shù)列，將n=2、3分別代入得到q，判斷是否與已知條件矛盾.
（3.）當(dāng)n=2時(shí)，用前 項(xiàng)和減去 項(xiàng)和可得 之間關(guān)系，分析判斷可證 是等差數(shù)列.
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．