Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²，常數(shù)a∈R．
（Ⅰ）若a=1，過點（1，0）作曲線y=f（x）的切線l，求l的方程；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）與直線y=x-1只有一個交點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=1代入函數(shù)解析式，設出切點坐標，利用導數(shù)求出過切點的切線方程，代入點（1，0），求得切點橫坐標，則過（1，0）點的切線方程可求；
（Ⅱ）把曲線y=f（x）與直線y=x-1只有一個交點轉(zhuǎn)化為關于x的方程ax²=x³-x+1只有一個實根，進一步轉(zhuǎn)化為方程$a=x-\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$只有一個實根．構造函數(shù)
$g（x）=x-\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$，利用導數(shù)分析其單調(diào)性，并畫出其圖象大致形狀，數(shù)形結合可得方程$a=x-\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$只有一個實根時的實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x³-x²，
設切點P為（x₀，y₀），則${f}^{′}（{x}_{0}）=3{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}$，
∴過P點的切線方程為$y=（3{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}）（x-{x}_{0}）+{{x}_{0}}^{3}-{{x}_{0}}^{2}$．
該直線經(jīng)過點（1，0），
∴有$（3{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}）（1-{x}_{0}）+{{x}_{0}}^{3}-{{x}_{0}}^{2}=0$，化簡得${{x}_{0}}^{3}-2{{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}=0$，
解得x₀=0或x₀=1，
∴切線方程為y=0和y=x-1；
（Ⅱ）曲線y=f（x）與直線y=x-1只有一個交點，等價于關于x的方程ax²=x³-x+1只有一個實根．
顯然x≠0，
∴方程$a=x-\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$只有一個實根．
設函數(shù)$g（x）=x-\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$，則${g}^{′}（x）=1+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{{x}^{3}}=\frac{{x}^{3}+x-2}{{x}^{3}}$．
設h（x）=x³+x-2，h′（x）=3x²+1＞0，h（x）為增函數(shù)，又h（1）=0．
∴當x＜0時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；
當x＞1時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
∴g（x）在x=1時取極小值1．
又當x趨向于0時，g（x）趨向于正無窮；當x趨向于負無窮時，g（x）趨向于負無窮；
又當x趨向于正無窮時，g（x）趨向于正無窮．
∴g（x）圖象大致如圖所示：

∴方程$a=x-\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$只有一個實根時，實數(shù)a的取值范圍為（-∞，1）．

點評 本題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點的切線方程，會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結合的解題思想方法，是壓軸題．