Question

14．己知x，y都是正數(shù)，且x²+2y²=$\sqrt{2}$，則$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$的最小值是$\frac{{3}^{\frac{3}{2}}}{{2}^{\frac{1}{4}}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件可得到$\sqrt{2}$=${x}^{2}+{y}^{2}+{y}^{2}≥3\root{3}{{x}^{2}{y}^{2}{z}^{2}}$，從而可得出$xyz≤\frac{{2}^{\frac{3}{4}}}{{3}^{\frac{3}{2}}}$，當(dāng)x=y=z時(shí)取等號(hào)，而$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}≥3\root{3}{\frac{1}{xyz}}$，并且當(dāng)x=y=z時(shí)取等號(hào)，這樣即可得出$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的范圍，從而得出$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的最小值．

解答 解：x，y＞0，∴由${x}^{2}+2{y}^{2}=\sqrt{2}$得，$\sqrt{2}={x}^{2}+{y}^{2}+{y}^{2}≥3\root{3}{{x}^{2}{y}^{2}{z}^{2}}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)取等號(hào)；
∴$\root{3}{{x}^{2}{y}^{2}{z}^{2}}≤\frac{\sqrt{2}}{3}$；
∴${x}^{2}{y}^{2}{z}^{2}≤\frac{{2}^{\frac{3}{2}}}{{3}^{3}}$；
∴$xyz≤\frac{{2}^{\frac{3}{4}}}{{3}^{\frac{3}{2}}}$；
∴$\frac{1}{xyz}≥\frac{{3}^{\frac{3}{2}}}{{2}^{\frac{3}{4}}}$；
∴$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}≥3\root{3}{\frac{1}{xyz}}$$≥\frac{{3}^{\frac{3}{2}}}{{2}^{\frac{1}{4}}}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)取等號(hào)；
∴$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的最小值為$\frac{{3}^{\frac{3}{2}}}{{2}^{\frac{1}{4}}}$．
故答案為：$\frac{{3}^{\frac{3}{2}}}{{2}^{\frac{1}{4}}}$．

點(diǎn)評(píng) 考查三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式在求最小值中的應(yīng)用，注意等號(hào)成立的條件，以及不等式的性質(zhì)．