Question

10．已知F₁、F₂是橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點，F(xiàn)₁（-1，0），且橢圓M過點（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
（Ⅰ）求橢圓M的標準方程；
（Ⅱ）過F₁、F₂分別作直線l₁與l₂，l₁交橢圓于B，D兩點，l₂交橢圓于A，C兩點，且l₁⊥l₂，若四邊形ABCD的面積為$\frac{96}{25}$，求直線l₁的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用F₁、F₂是橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點，F(xiàn)₁（-1，0），且橢圓M過點（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），求出a，b，即可求橢圓M的標準方程；
（Ⅱ）當l₁，l₂中有一條直線的斜率不存在時，四邊形的面積為S=4；若l1 與l₂的斜率都存在，設l₁的斜率為k，則直線l₁的方程為y=k（x+1），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線l₁與橢圓方程，
消去y整理得，（3k²+2）x²+6k²x+3k²-6=0，得|AB|，用-$\frac{1}{k}$代替k，得|CD|，由此能求出四邊形ABCD面積，利用四邊形ABCD的面積為$\frac{96}{25}$，求直線l₁的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵F₁、F₂是橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點，F(xiàn)₁（-1，0），且橢圓M過點（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴c=1，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{4}{3}}{^{2}}$=1，
∴a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓M的標準方程$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）當l₁，l₂中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0，
此時四邊形的面積為S=4．
若l₁與l₂的斜率都存在，設l₁的斜率為k，則l₂的斜率為-$\frac{1}{k}$．
∴直線l₁的方程為y=k（x+1），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線l₁與橢圓方程，
消去y整理得，（3k²+2）x²+6k²x+3k²-6=0，（1）
∴x₁+x₂=-$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-6}{3{k}^{2}+2}$
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{3}（1+{k}^{2}）}{3{k}^{2}+2}$，（2）
注意到方程（1）的結構特征，或圖形的對稱性，
可以用-$\frac{1}{k}$代替（2）中的k，得|CD|=$\frac{4\sqrt{3}（{k}^{2}+1）}{3+2{k}^{2}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|AB|•|CD|=$\frac{1}{2}•$$\frac{48（1+{k}^{2}）^{2}}{（3{k}^{2}+2）（3+2{k}^{2}）}$=$\frac{96}{25}$，
解得k=±1，
∴直線l₁的方程為y=±（x+1）．

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法，考查四邊形面積的求法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．