Question

5．已知拋物線C₁：y²=2px（p＞0）經(jīng)過圓C₂：x²+y²-2x-4$\sqrt{2}$y-16=0的圓心，過C₁的焦點(diǎn)的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-12．

Answer 1

分析 首先解得拋物線的方程，接著，由直線的斜率是否存在進(jìn)行討論，將直線的方程與拋物線的方程進(jìn)行聯(lián)立，通過韋達(dá)定理，并進(jìn)行一定的計算和轉(zhuǎn)化，即可得出答案．

解答 解：∵拋物線C₁：y²=2px（p＞0）經(jīng)過圓C₂：x²+y²-2x-4$\sqrt{2}$y-16=0的圓心，
∴圓心（1，2$\sqrt{2}$）在拋物線上，
代入，可以解得，p=4，
∴拋物線的方程為y²=8x，
∴拋物線的焦點(diǎn)為（2，0）
∵過C₁的焦點(diǎn)的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，
∴分兩類進(jìn)行討論：
①若直線的斜率不存在，則A（2，4），B（2，-4），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=4-16=-12，
②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：y=k（x-2），
與拋物線的方程聯(lián)立，k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²═（k²+1）•4-2k²•$\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$+4k²=4-16=-12．
綜上，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-12，
故答案為：-12．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程求解方法，考查拋物線與直線的綜合，屬于中檔題．