Question

16．如圖，在五面體P-ABCD中，CB⊥平面ABP，BC∥AD，AD=2BC=2，且BA=BP=2，BA⊥BP．
（1）點E為棱PD的中點，點F是平面APC上的一點，求直線PD與平面APC所成角的正弦值；
（2）求平面PAD與平面PBD所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以BA，BP，BC分別為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，求出平面APC的法向量，$\overrightarrow{PD}$，利用向量的夾角公式，即可求直線PD與平面APC所成角的正弦值；
（2）求出平面PAD與平面PBD的法向量，利用向量的夾角公式求平面PAD與平面PBD所成的銳二面角的余弦值．

解答 解：（1）以BA，BP，BC分別為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，則B（0，0，0），A（2，0，0），P（0，2，0），C（0，0，1），D（2，0，2），E（1，1，0），
∴$\overrightarrow{PD}$=（2，-2，2），$\overrightarrow{AP}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（-2，0，1），
設(shè)平面APC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y=0}\\{-2x+z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），則直線PD與平面APC所成角的正弦值為$\frac{4}{\sqrt{12}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$；
（2）$\overrightarrow{PA}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{AD}$=（0，0，2），
設(shè)平面PAD的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），則$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}-2{y}_{1}=0}\\{{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，1，0），
$\overrightarrow{PB}$=（0，-2，0），$\overrightarrow{PD}$=（2，-2，2），
設(shè)平面PBD的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂），則$\left\{\begin{array}{l}{-2{y}_{2}=0}\\{2{x}_{2}+2{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，0，-1），
∴平面PAD與平面PBD所成的銳二面角的余弦值為$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查用空間向量求平面間的夾角、直線與平面所成的角，考查向量方法的運用，正確求平面的法向量是關(guān)鍵．