Question

8．甲、乙兩人進行射擊訓練，命中率分別為$\frac{2}{3}$與P，且各次射擊互不影響，乙射擊2次均未命中的概率為$\frac{1}{25}$．
（1）求乙射擊的命中率；
（2）若甲射擊2次，乙射擊1次，甲、乙兩人一共命中次數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目條件得出（1-P（B））²=$\frac{1}{25}$，0≤P≤1，求解即可．
（2）確定甲、乙兩人一共命中次數(shù)記為ξ=0，1，2，3，
利用對立事件的概率得出：根據(jù)題意得出P（A）=$\frac{2}{3}$，P（$\overline{A}$）=$\frac{1}{3}$，P（B）=$\frac{4}{5}$，P（$\overline{B}$）=$\frac{1}{5}$，
根據(jù)事件的獨立性，互斥性得出：P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）），P（ξ=3），列出分布列即可，再根據(jù)數(shù)學期望公式求解．

解答 解：（1）設“甲射擊一次命中”的事件為A，“乙射擊一次命中”的事件為B，A，B相互獨立，
∵（1-P（B））²=$\frac{1}{25}$，0≤P≤1，
∴即P（B）=$\frac{4}{5}$，
故乙射擊的命中率：，$\frac{4}{5}$．
（2）甲射擊2次，乙射擊1次，甲、乙兩人一共命中次數(shù)記為ξ=0，1，2，3，
根據(jù)題意得出P（A）=$\frac{2}{3}$，P（$\overline{A}$）=$\frac{1}{3}$，P（B）=$\frac{4}{5}$，P（$\overline{B}$）=$\frac{1}{5}$，
根據(jù)事件的獨立性，互斥性得出：
P（ξ=0）=（$\frac{1}{3}$）²×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{45}$，
P（ξ=1）=2×（$\frac{1}{3}$）×（$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{5}$+（$\frac{1}{3}$）²×$\frac{4}{5}$=$\frac{8}{45}$，
P（ξ=2））=（$\frac{2}{3}$）²×$\frac{1}{5}$+2×$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{20}{45}$=$\frac{4}{9}$，
P（ξ=3）=$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{45}$，
ξ的分布列，

ξ	0	1	2	3
p	$\frac{1}{45}$	$\frac{8}{45}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{16}{45}$

數(shù)學期望：0×$\frac{1}{45}$$+1×\frac{8}{45}$$+2×\frac{4}{9}$$+3×\frac{16}{45}$=$\frac{96}{45}$=$\frac{32}{15}$

點評 本題考查了古典概率在實際問題中的應用，利用獨立事件，互斥事件求解，準確分類，準確計算，思路要清晰，認真，難度不是很大，屬于中檔題．