Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，圓O的參數(shù)方程為

x=- 2 +rcosθ y=-1+rsinθ

，（θ為參數(shù)，r＞0）以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸，并取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

．
（Ⅰ）寫出直線l和圓O的普通方程；
（Ⅱ）并求出r為何值時，直線l與圓O相切．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）由直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

展開

2

2

ρ(sinθ+cosθ)=

2

2

，再利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出．
由圓O的參數(shù)方程為

x=- 2 +rcosθ y=-1+rsinθ

，（θ為參數(shù)），變形利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可得出．
（II）利用點到直線的距離公式公式先求出圓心O(-

2

，-1)到直線l的距離d，當(dāng)r=d時直線l與圓O相切．

解答： 解：（I）由直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

化為

2

2

ρ(sinθ+cosθ)=

2

2

，
即ρsinθ+ρcosθ=1，∴普通方程為x+y=1．
由圓O的參數(shù)方程為

x=- 2 +rcosθ y=-1+rsinθ

，（θ為參數(shù)），化為(x+

2

)2+(y+1)2=r2．即為圓的普通方程．
（II）圓心O(-

2

，-1)到直線l的距離d=

|- 2 -1-1|

2

=1+

2

，
當(dāng)r=d=1+

2

時，直線l與圓O相切．

點評：本題考查了極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相切的判定，考查了推理能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題．