Question

13．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，橢圓C₂以橢圓C₁的長軸為短軸，且離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（1）求橢圓C₂的方程； 
（2）如圖，點A，B分別為橢圓C₁的上、下頂點，點P為橢圓C₂上一動點，∠APB的大小為θ，求cosθ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意橢圓C₂的焦點在y軸上，設(shè)方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，根據(jù)條件求出a、b即可；
（2）當(dāng)點P是橢圓的短軸的端點時，∠APB取得最大值，此時cos∠APB可取得最小值．

解答 解：（1）由題意可設(shè)橢圓C₂的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，
∵橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的長軸長為4，∴2b=4，∴b=2，
∵離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴$\frac{{a}^{2}-4}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，∴a²=5
∴橢圓C₂的方程為$\frac{{y}^{2}}{5}+\frac{{x}^{2}}{4}=1$；
（2）由（1）知，橢圓C₂的方程為$\frac{{y}^{2}}{5}+\frac{{x}^{2}}{4}=1$的焦點為（0，±1），
∴點A，B分別為橢圓C₂的焦點，
∵a=$\sqrt{5}$，b=2，c=1，∴e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
當(dāng)點P是橢圓的短軸的端點時，∠APB取得最大值，
∴sin（$\frac{1}{2}$∠APB）=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴cos∠F₁PF₂的最小值=1-2sin²（$\frac{1}{2}$∠APB）=1-2（$\frac{\sqrt{5}}{5}$）²=$\frac{3}{5}$．

點評 正確理解當(dāng)點P是橢圓的短軸的端點時，∠APB取得最大值，此時cos∠APB可取得最小值是解題的關(guān)鍵．