Question

18．已知函數(shù)g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，f（x）=axlnx+b，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為y=x+$\frac{2}{e}$-1．
（1）求a，b；
（2）當(dāng)h（x）=f（x）•g（x）時(shí)，證明：h（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值等于1結(jié)合切點(diǎn)既在曲線上又在切線上列式求得a，b的值；
（2）把f（x），g（x）的解析式代入h（x）=f（x）•g（x），把證明h（x）＞1轉(zhuǎn)化為證$xlnx＞\frac{x}{{e}^{x}}＞\frac{2}{e}$，然后構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)h₁（x）=xlnx，${h}_{2}（x）=\frac{x}{{e}^{x}}-\frac{2}{e}$，由導(dǎo)數(shù)求h₁（x）的最小值，求h₂（x）的最大值，由h₁（x）的最小值小于h₂（x）的最大值說明原不等式成立．

解答 （1）解：由f（x）=axlnx+b，得f′（x）=alnx+a，
∴f′（1）=a=1，
f（1）=b=1+$\frac{2}{e}-1=\frac{2}{e}$，
∴$a=1，b=\frac{2}{e}$；
（2）證明：當(dāng)h（x）=f（x）•g（x）=（xlnx+$\frac{2}{e}$）$•\frac{{e}^{x}}{x}$，
要證h（x）＞1，即證（xlnx+$\frac{2}{e}$）$•\frac{{e}^{x}}{x}$＞1，
也就是證$xlnx＞\frac{x}{{e}^{x}}-\frac{2}{e}$，
令h₁（x）=xlnx，${{h}_{1}}^{′}（x）=lnx+1$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$）時(shí)，${{h}_{1}}^{′}（x）＜0$，當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}，+∞$）時(shí)，${{h}_{1}}^{′}（x）＞0$，
∴$（{h}_{1}（x））_{min}={h}_{1}（\frac{1}{e}）$=$-\frac{1}{e}$；
令${h}_{2}（x）=\frac{x}{{e}^{x}}-\frac{2}{e}$，${{h}_{2}}^{′}（x）=\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，${{h}_{2}}^{′}（x）＞0$，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，${{h}_{2}}^{′}（x）＜0$，
（h₂（x））_max=${h}_{2}（1）=-\frac{1}{e}$，
由函數(shù)h₁（x）的最小值與函數(shù)h₂（x）的最大值不在同一點(diǎn)取得，
∴$xlnx＞\frac{x}{{e}^{x}}-\frac{2}{e}$，
即h（x）＞1．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中高檔題．