Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+kx，k∈R，函數(shù)f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）數(shù)列{a_n}滿足a_n=$\frac{1}{f'（n）-k}$，求a₁+a₂+a₃+a₄+a₅；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=f′（b_n），
①當(dāng)k=-$\frac{1}{4}$且b₁＞1時，證明：數(shù)列{lg（b_n+$\frac{1}{2}}$）}為等比數(shù)列；
②當(dāng)k=0，b₁=b＞0時，證明：$\sum_{i=1}^{n}$${\frac{b_i}{{{b_{i+1}}}}}$＜$\frac{1}$．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得a_n=$\frac{1}{f'（n）-k}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，運用裂項相消求和即可得到所求值；
（2）求得當(dāng)k=-$\frac{1}{4}$且b₁＞1時，b_n+1=b_n²+b_n-$\frac{1}{4}$，兩邊同加$\frac{1}{2}$，配方后，取常用對數(shù)，由等比數(shù)列的定義，即可得證；
②求得b_n+1=b_n²+b_n，即有$\frac{1}{_{n+1}}$=$\frac{1}{_{n}}$-$\frac{1}{_{n}+1}$，即有$\frac{1}{_{n}}$-$\frac{1}{_{n+1}}$=$\frac{1}{_{n}+1}$，運用裂項相消求和，可得，$\frac{1}$-$\frac{1}{_{n+1}}$=$\frac{1}{_{1}+1}$+$\frac{1}{_{2}+1}$+…+$\frac{1}{_{n}+1}$，再將原不等式左邊化簡，由不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+kx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x²+x+k，
a_n=$\frac{1}{f'（n）-k}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
可得a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$=1-$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{6}$；
（2）證明：①當(dāng)k=-$\frac{1}{4}$且b₁＞1時，b_n+1=f′（b_n）=b_n²+b_n-$\frac{1}{4}$，
即有b_n+1+$\frac{1}{2}$=b_n²+b_n+$\frac{1}{4}$=（b_n+$\frac{1}{2}$）²，
兩邊取常用對數(shù)，可得lg（b_n+1+$\frac{1}{2}$）=lg（b_n+$\frac{1}{2}$）²=2lg（b_n+$\frac{1}{2}$），
則數(shù)列{lg（b_n+$\frac{1}{2}}$）}為首項為lg（b₁+$\frac{1}{2}$），公比為2的等比數(shù)列；
②當(dāng)k=0，b₁=b＞0時，b_n+1=b_n²+b_n，
即有$\frac{1}{_{n+1}}$=$\frac{1}{_{n}}$-$\frac{1}{_{n}+1}$，
即有$\frac{1}{_{n}}$-$\frac{1}{_{n+1}}$=$\frac{1}{_{n}+1}$，
可得$\frac{1}{_{1}}$-$\frac{1}{_{2}}$=$\frac{1}{_{1}+1}$，$\frac{1}{_{2}}$-$\frac{1}{_{3}}$=$\frac{1}{_{2}+1}$，
…，$\frac{1}{_{n}}$-$\frac{1}{_{n+1}}$=$\frac{1}{_{n}+1}$，
相加可得，$\frac{1}$-$\frac{1}{_{n+1}}$=$\frac{1}{_{1}+1}$+$\frac{1}{_{2}+1}$+…+$\frac{1}{_{n}+1}$，
則$\sum_{i=1}^{n}$${\frac{b_i}{{{b_{i+1}}}}}$=$\frac{_{1}}{_{2}}$+$\frac{_{2}}{_{3}}$+…+$\frac{_{n}}{_{n+1}}$
=$\frac{1}{_{1}+1}$+$\frac{1}{_{2}+1}$+…+$\frac{1}{_{n}+1}$=$\frac{1}$-$\frac{1}{_{n+1}}$＜$\frac{1}$，
則原不等式成立．

點評 本題考查等比數(shù)列的定義的運用，構(gòu)造數(shù)列的思想，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，以及轉(zhuǎn)化思想的運用，考查運算和推理能力，屬于中檔題．