Question

12．如圖，RT△ABC中，AB=AC，BC=4，O為BC的中點，以O(shè)為圓心，1為半徑的半圓與BC交于點D，P為半圓上任意一點，則$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{AD}$的最小值為（　�。�

• A． 2+$\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2
• D． 2-$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：以O(shè)為坐標(biāo)原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，
所以B（-2，0），D（1，0），A（0，2），
設(shè)P（x，y）（y≥0）且x²+y²=1，
所以$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{AD}=（x+2，y）•（1，-2）=x+2-2y$，
令x=cosα，y=sinα，α∈[0，π]，
則$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{AD}=cosα-2sinα+2=\sqrt{5}cos（α+ϕ）+2$，其中tanϕ=2．
所以當(dāng)α=π-ϕ時有最小值$2-\sqrt{5}$．
故選：D

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法是解決本題的關(guān)鍵．