Question

12．已知a、b、c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，asinA=bsinB+（c-b）sinC．
（1）求A；
（2）若等差數(shù)列{a_n}的公差不為零，且a₁cosA=1，且a₂、a₄、a₈成等比數(shù)列，求{${\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理余弦定理即可得出A．
（2）a₁cosA=1，由（1）知$A=\frac{π}{3}$，a₁=2．由a₂、a₄、a₈成等比數(shù)列，可得$a_4^2={a_2}{a_8}$，由數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，可得（2+3d）²=（2+d）（2+7d），解得d，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵asinA=bsinB+（c-b）sinC，
∴由正弦定理得：a²=b²+c²-bc，
再由余弦定理知$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$，A∈（0，π）．
∴$A=\frac{π}{3}$．
（2）∵a₁cosA=1，由（1）知$A=\frac{π}{3}$，∴a₁=2，
又∵a₂、a₄、a₈成等比數(shù)列，∴$a_4^2={a_2}{a_8}$，
∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，∴（2+3d）²=（2+d）（2+7d），
又∵公差d≠0，解得d=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n，
設(shè)${b_n}=\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，則數(shù)列$\left\{{\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的通項(xiàng)公式${b_n}=\frac{4}{{4n（{n+1}）}}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴前n項(xiàng)和${S_n}=（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．