Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-x+

1

x

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)x＞0時，ln（1+

1

x

）＜

1

x2+x

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,證明題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對a討論，當(dāng)a≤0，當(dāng)0＜a≤2時，當(dāng)a＞2時，討論導(dǎo)數(shù)的符號，通過解二次不等式，即可得到單調(diào)區(qū)間；
（2）可運(yùn)用令t=

1

x

，構(gòu)造函數(shù)y=ln（1+t）-

t

1+t

，通過求導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．

解答： （1）解：f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

a

x

-1-

1

x2

=

ax-x2-1

x2

（x＞0），
當(dāng)a≤0，則f′（x）＜0，則f（x）遞減，即減區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)0＜a≤2時，則f′（x）＜0，則f（x）遞減，即減區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞2時，令ax-x²-1=0，解得，x_1，2=

a± a2-4

2

，
令f′（x）＞0，則

a- a2-4

2

＜x＜

a+ a2-4

2

，
f′（x）＜0，則0＜x＜

a- a2-4

2

或x＞

a+ a2-4

2

，
此時f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（

a- a2-4

2

，

a+ a2-4

2

），
單調(diào)減區(qū)間為（0，

a- a2-4

2

），（

a+ a2-4

2

，+∞）；
（2）證明：令t=

1

x

，當(dāng)x＞0時，不等式ln（1+

1

x

）＜

1

x2+x

，
即為ln（1+t）＜

t

1+t

，
令y=ln（1+t）-

t

1+t

，y′=

1

1+t

-

1+t -t• 1 2 • 1 1+t

1+t

=-

( 1+t -1)2

2(1+t) 1+t

＜0，
即有函數(shù)y在x＞0遞減，即有l(wèi)n（1+t）-

t

1+t

＜0成立，
即有l(wèi)n（1+t）＜

t

1+t

．
故當(dāng)x＞0時，不等式ln（1+

1

x

）＜

1

x2+x

成立．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查分類討論和構(gòu)造函數(shù)的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．