Question

設函數(shù)f（x）=log_a（1+ax）-log_a（1-ax），其中a＞0，且a≠1．
（1）當a=2時，解不等式f（x）-1＞0；
（2）當a＞1時，若關于x的不等式f（x）-1＞0恒成立，求a的取值范圍；
（3）若f（x₀）=x₀-1，證明|x₀|＜1．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）log₂（1+2x）-log₂（1-2x）＞1，轉(zhuǎn)化為：

1+2x＞0 1-2x＞0 1+2x 1-2x ＞2

求解即可；
（2）把不等式f（x）-1＞0恒成立轉(zhuǎn)化為

1+ax＞0 1-ax＞0 1+ax 1-ax ＞a

恒成立，進一步得到

a-1

a2+a

＜x＜

1

a

恒成立，然后求解不等式

a-1

a2+a

＜

1

a

得答案；
（3）由log_a（1+ax₀）-log_a（1-ax₀）=x₀-1，得到-1-

2

ax0-1

=ax0-1（ax₀-1＜0），分類后構造函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性即可得到證明．

解答： （1）解：a=2時，不等式f（x）-1＞0化為：log₂（1+2x）-log₂（1-2x）＞1
即

1+2x＞0 1-2x＞0 1+2x 1-2x ＞2

，解得：

1

6

＜x＜

1

2

．
∴不等式的解集為(

1

6

，

1

2

)；
（2）解：當a＞1時，關于x的不等式f（x）-1＞0恒成立，即log_a（1+ax）-log_a（1-ax）＞1恒成立，
也就是

1+ax＞0 1-ax＞0 1+ax 1-ax ＞a

恒成立．
則

- 1 a ＜x＜ 1 a x＞ a-1 a2+a

，∴

a-1

a2+a

＜x＜

1

a

恒成立，
則

a-1

a2+a

＜

1

a

恒成立，解得a＞0，
∴a＞1；
（3）證明：由f（x₀）=x₀-1，得log_a（1+ax₀）-log_a（1-ax₀）=x₀-1，
∴

1+ax0＞0 1-ax0＞0 1+ax0 1-ax0 =ax0-1

，即-1-

2

ax0-1

=ax0-1（ax₀-1＜0），
當a＞1時，由-

1

a

＜x0＜

1

a

說明|x₀|＜1成立；
當0＜a＜1時，令g（x）=-

2

ax-1

=

- 2 a

(x- 1 a )

，
t（x）=a^x-1+1，
根據(jù)單調(diào)性可判斷兩函數(shù)圖象交點的橫坐標x₀滿足-1＜x₀＜1，
故不等式|x₀|＜1成立．

點評：本題綜合考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法及分類討論的數(shù)學思想方法，屬難度較大的題目．