Question

如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=4，點(diǎn)P為面ADD₁A₁的對(duì)角線AD₁上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）．PM⊥平面ABCD交AD于點(diǎn)M，MN⊥BD于點(diǎn)N．
（1）設(shè)AP=x，將PN長(zhǎng)表示為x的函數(shù)；
（2）當(dāng)PN最小時(shí)，求異面直線PN與A₁C₁所成角的大�。�（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,空間角

分析：（1）求出PM，AM，運(yùn)用余弦定理，求得PN；
（2）求出PN的最小值，由于MN∥AC，又A₁C₁∥AC，∠PNM為異面直線PN與A₁C₁所成角的平面角，通過(guò)解直角三角形PMN，即可得到．

解答： 解：（1）在△APM中，PM=

2 5 x

5

，AM=

5 x

5

； 
其中0＜x＜2

5

； 
在△MND中，MN=

2

2

(2-

5

5

x)，
在△PMN中，PN=

9 10 x2- 2 5 5 x+2

，x∈(0，2

5

)；
（2）當(dāng)x=

2 5

9

∈(0，2

5

)時(shí)，PN最小，此時(shí)PN=

4

3

．
因?yàn)樵诘酌鍭BCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，所以MN∥AC，又A₁C₁∥AC，
∠PNM為異面直線PN與A₁C₁所成角的平面角，
在△PMN中，∠PMN為直角，tan∠PNM=

2

4

，
所以∠PNM=arctan

2

4

，
異面直線PN與A₁C₁所成角的大小arctan

2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間異面直線所成的角的求法，考查二次函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．