【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓: 與軸的正半軸交于點,以為圓心的圓: ()與圓交于, 兩點.
(1)若直線與圓切于第一象限,且與坐標(biāo)軸交于, ,當(dāng)直線長最小時,求直線的方程;
(2)設(shè)是圓上異于, 的任意一點,直線、分別與軸交于點和,問是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.
【答案】(1)(2)是定值,定值為4
【解析】試題分析:(1)先設(shè)出直線的截距式方程,利用直線與圓相切,則圓心到直線的距離等于半徑列出關(guān)于的等式,由于,利用基本不等式可以得到時,線段長最小,寫出直線方程即可;(2)先設(shè)出, ,從而得到,以及直線PB、PC的方程,分別令,得到點M與點N的橫坐標(biāo)
,再利用點B、P在圓上進行化簡即可;
試題解析:(1)設(shè)直線的方程為,即,由直線與圓相切,得,即, ,
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,此時直線的方程為.
(2)設(shè), ,則, ,
直線的方程為:
直線的方程為:
分別令,得
所以 為定值.
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【題目】已知, ,動點滿足.設(shè)動點的軌跡為.
(1)求動點的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形;
(2)求動點與定點連線的斜率的最小值;
(3)設(shè)直線交軌跡于兩點,是否存在以線段為直徑的圓經(jīng)過?若存在,求出實數(shù)的值;若不存在,說明理由.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng),時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)對于任意,不等式恒成立,求實數(shù)的最大值.
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【題目】某品牌的手機專賣店采用分期付款方式經(jīng)銷手機,從參與購手機活動的100名顧客中進行統(tǒng)計,統(tǒng)計結(jié)果如下表所示,已知分3期付款的頻率為0.2,若顧客采用一次付清,其利潤為200元,采用2期或3期付款,其利潤為250元,采用4期或5期付款,其利潤為300元.
付款期數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
頻數(shù) | 40 | 20 | a | b | 10 |
(I)若以上表計算出的頻率近似代替概率,從購買手機的顧客(數(shù)量較多)中隨機抽取3位顧客,求事件“至多有1位采用分3期付款”的概率;
(II)按分層抽樣的方式從這100位顧客中抽取5人,再從抽出的5人中隨機抽取3人,記該店在這3人身上賺取的總利潤為隨機變量,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知定圓,動圓過點且與圓相切,記圓心的軌跡為.
(I)求軌跡的方程;
(Ⅱ)若與軸不重合的直線過點,且與軌跡交于兩點,問:在軸上是否存在定點,使得為定值?若存在,試求出點的坐標(biāo)和定值;若不存在,請說明理由.
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【題目】若, , 是互不重合的直線, , , 是互不重合的平面,給出下列命題:
①若, , ,則或;
②若, , ,則;
③若不垂直于,則不可能垂直于內(nèi)的無數(shù)條直線;
④若, , , ,則且;
⑤若, , 且, , ,則, , .
其中正確的命題是__________.(填序號)
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【題目】下列4個命題:
①“若a、G、b成等比數(shù)列,則G2=ab”的逆命題;
②“如果x2+x﹣6≥0,則x>2”的否命題;
③在△ABC中,“若A>B”則“sinA>sinB”的逆否命題;
④當(dāng)0≤α≤π時,若8x2﹣(8sinα)x+cos2α≥0對x∈R恒成立,則α的取值范圍是0≤α≤.
其中真命題的序號是________.
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【題目】已知a,b,c為△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊,向量 =(﹣1, ), =(cosA,sinA).若 ⊥ ,且acosB+bcosA=csinC,則角A,B的大小分別為( )
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
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【題目】從向陽小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調(diào)查,為制定階梯電價提供數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間,制作頻率分布直方圖的工作人員粗心大意,位置t處未標(biāo)明數(shù)據(jù),你認為t=( )
A.0.0041
B.0.0042
C.0.0043
D.0.0044
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