1.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,∠ACB=90°,2AC=AA1,D,M分別是棱AA1,BC的中點(diǎn).證明:
(1)AM∥平面BDC1
(2)DC1⊥平面BDC.

分析 (1)取BC1的中點(diǎn)N,連接DN,MN,證明DN∥AM,即可證明AM∥平面BDC1;
(2)證明DC1⊥BC,且DC1⊥DC,即可證明DC1⊥平面BDC.

解答 證明:(1)如圖所示,
取BC1的中點(diǎn)N,連接DN,MN.
則MN∥CC1,且MN=$\frac{1}{2}$CC1
又AD∥CC1,且AD=$\frac{1}{2}$CC1,
∴AD∥MN,且AD=MN;
∴四邊形ADNM為平行四邊形,
∴DN∥AM;
又DN?平面BDC1,AM?平面BDC1,
∴AM∥平面BDC1…(6分)
(2)由已知BC⊥CC1,BC⊥AC,
又CC1∩AC=C,
∴BC⊥平面ACC1A1,
又DC1?平面ACC1A1,
∴DC1⊥BC;
由已知得∠A1DC1=∠ADC=45°,
∴∠CDC1=90°,
∴DC1⊥DC;
又DC∩BC=C,
∴DC1⊥平面BDC.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行與垂直的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了空間想象能力與邏輯思維能力的應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題目.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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