Question

10．已知a、b、c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊．
（1）若△ABC面積${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，c=2，A=60°$，求a、b的值；
（2）若a=ccosB，且b=csinA，試判斷△ABC的形狀．
（3）當(dāng)鈍角△ABC的三邊a，b，c是三個(gè)連續(xù)整數(shù)時(shí)，求△ABC外接圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）利用已知及三角形面積公式可求b的值，由余弦定理即可求得a的值．
（2）由余弦定理及勾股定理可得∠C=90°，又$b=c•\frac{a}{c}=a$，可得△ABC是等腰直角三角形．
（3）設(shè)△ABC的三邊分別為n-1，n，n+1（n≥2，n∈Z），設(shè)∠C為鈍角，由（n-1）²+n²＜（n+1）²⇒可解得0＜n＜4，討論可得n=3，由正弦定理，余弦定理即可得解．

解答 解：（1）∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$\frac{1}{2}b•2sin60°=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得b=1
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1²+2²-2×1×2•cos60°=3，
所以$a=\sqrt{3}$；
（2）由余弦定理得：$a=c•\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}⇒{a^2}+{b^2}={c^2}$，所以∠C=90°，
在Rt△ABC中，$sinA=\frac{a}{c}$，所以$b=c•\frac{a}{c}=a$，
所以△ABC是等腰直角三角形；
（3）設(shè)△ABC的三邊分別為n-1，n，n+1（n≥2，n∈Z），∵△ABC是鈍角三角形，不妨設(shè)∠C為鈍角，
由（Ⅰ）得（n-1）²+n²＜（n+1）²⇒n²-4n＜0⇒0＜n＜4，∵n≥2，n∈Z，∴n=2，n=3，
當(dāng)n=2時(shí)，不能構(gòu)成三角形，舍去，
當(dāng)n=3時(shí)，△ABC三邊長(zhǎng)分別為2，3，4，$cosC=\frac{{{2^2}+{3^2}-{4^2}}}{2×2×3}=-\frac{1}{4}⇒sinC=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，△ABC外接圓的半徑$R=\frac{c}{2sinC}=\frac{4}{{2×\frac{{\sqrt{15}}}{4}}}=\frac{{8\sqrt{15}}}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形面積公式，正弦定理，余弦定理，勾股定理，不等式的解法及應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．