Question

19．設(shè) S_n是數(shù)列 {a_n}的前 n 項和，且a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1（n∈N^*）．
（1）求證數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}為等差數(shù)列，并求S_n；
（2）求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和．

Answer 1

分析 （1）${a_{n+1}}={S_n}{S_{n+1}}（{n∈{N^*}}）$，可得S_n+1-S_n=S_nS_n+1，$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，即可證明．
（2）由（1）可得：n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 （1）解：∵${a_{n+1}}={S_n}{S_{n+1}}（{n∈{N^*}}）$，∴S_n+1-S_n=S_nS_n+1，∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$為等差數(shù)列，公差為1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1-（n-1）=-n．
∴S_n=-$\frac{1}{n}$．
（2）解：由（1）可得：n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．