Question

15．在△ABC中，A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若a•cosC+c•cosA=2b•cosB．
（1）求B的大�。�          
（2）若a+c=$\sqrt{10}$，b=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式化簡已知的式子，根據(jù)內(nèi)角和定理化簡求出cosB的值，由內(nèi)角的范圍求出角B；
（2）由（1）和余弦定理列出方程，結(jié)合條件和整體代換求出ac的值，代入三角形的面積公式求出△ABC的面積．

解答 解：（1）由題意得，a•cosC+c•cosA=2b•cosB，
∴由正弦定理得，sinA•cosC+sinC•cosA=2sinB•cosB．
∴sin（A+C）=2sinBcosB，
∵sin（A+C）=sinB≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，
由0＜B＜π得，B=$\frac{π}{3}$；
（2）∵b=2，B=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，
則4=a²+c²-ac，
又a+c=$\sqrt{10}$，則a²+c²=（a+c）²-2ac=10-2ac，
代入上式解得，ac=2，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查正弦、余弦定理，兩角和的正弦公式，三角形的面積公式，以及整體代換求值，注意內(nèi)角的范圍，屬于中檔題．