Question

20．若實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，點(diǎn)P（-1，0）在動(dòng)直線ax+by+c=0上的射影為M，點(diǎn)N坐標(biāo)為（3，3），則線段
MN長(zhǎng)度的最小值是5-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到2b=a+c，整理后可得直線ax+by+c=0恒過(guò)Q（1，-2），由條件得到PM與QM垂直得到M在以PQ為直徑的圓上，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圓心A的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出此圓的半徑r和|AN|，判斷出點(diǎn)N與圓的位置關(guān)系，在求出線段MN長(zhǎng)度的最小值．

解答 解：∵實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，
∴2b=a+c，即a-2b+c=0，
可得動(dòng)直線ax+by+c=0恒過(guò)Q（1，-2），
∵點(diǎn)P（-1，0）在動(dòng)直線ax+by+c=0上的射影為M，
∴∠PMQ=90°，則M在以PQ為直徑的圓上，
∴此圓的圓心A坐標(biāo)為（$\frac{1-1}{2}$，$\frac{-2+0}{2}$），即A（0，-1），
半徑r=$\frac{1}{2}$|PQ|=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4}$=$\sqrt{2}$，
又N（3，3），∴|AN|=$\sqrt{（3-0）^{2}+（3+1）^{2}}$=5$＞\sqrt{2}$，則點(diǎn)N在圓外，
則|MN|_min=5-$\sqrt{2}$，
故答案為：5-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，恒過(guò)定點(diǎn)的直線方程，圓周角定理，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及兩點(diǎn)間的距離公式，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到2b=a+c，即a-2b+c=0是解本題的突破點(diǎn)．