Question

1．圖甲是應(yīng)用分形幾何學(xué)做出的一個(gè)分形規(guī)律圖，按照?qǐng)D甲所示的分形規(guī)律可得圖乙所示的一個(gè)樹形圖．

我們采用“坐標(biāo)”來表示圖乙各行中的白圈、黑圈的個(gè)數(shù)（橫坐標(biāo)表示白圈的個(gè)數(shù)，縱坐標(biāo)表示黑圈的個(gè)數(shù)）．比如第一行記為（0，1），第二行記為（1，2），第三行記為（4，5），照此下去，第四行中白圈與黑圈的“坐標(biāo)”為（13，14），第n（n∈N^*）行中白圈與黑圈的“坐標(biāo)”為（$\frac{{3}^{n-1}-1}{2}$，$\frac{{3}^{n-1}+1}{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)圖甲所示的分形規(guī)律，1個(gè)白圈分形為2個(gè)白圈1個(gè)黑圈，1個(gè)黑圈分形為1個(gè)白圈2個(gè)黑圈，根據(jù)第三行的數(shù)據(jù)可求出第四行的黑白圈的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可歸納第n行的墨白圈數(shù)．

解答 解：根據(jù)圖甲所示的分形規(guī)律，1個(gè)白圈分形為2個(gè)白圈1個(gè)黑圈，1個(gè)黑圈分形為1個(gè)白圈2個(gè)黑圈，
記某行白圈x個(gè)，黑圈y個(gè)為（x，y），
則第一行記為（0，1），
第二行記為（1，2），
第三行記為（4，5），
第四行記為（13，14），
第四行中白圈與黑圈的“坐標(biāo)”為：（13，14），
各行黑圈數(shù)乘以2，分別是2，4，10，28，82，即1+1，3+1，9+1，27+1，81+1，
∴第n行的黑圈數(shù)為$\frac{{3}^{n-1}+1}{2}$，
而第n行共有：3^n-1個(gè)圈，
故第n行的白圈數(shù)為3^n-1-$\frac{{3}^{n-1}+1}{2}$=$\frac{{3}^{n-1}-1}{2}$，
故第n（n∈N^*）行中白圈與黑圈的“坐標(biāo)”為（$\frac{{3}^{n-1}-1}{2}$，$\frac{{3}^{n-1}+1}{2}$），
故答案為：（13，14），（$\frac{{3}^{n-1}-1}{2}$，$\frac{{3}^{n-1}+1}{2}$）

點(diǎn)評(píng) 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．