Question

已知二次函數(shù)y=f（x），滿足f（-2）=f（0）=0，且f（x）的最小值為-1．
（1）若函數(shù)y=F（x），x∈R為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x），求函數(shù)y=F（x），x∈R的解析式；
（2）設(shè)g（x）=f（-x）-λf（x）+1，若g（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（-2）=f（0）可知函數(shù)的對(duì)稱軸x=-1，結(jié)合f（x）的最小值為-1可設(shè)f（x）=a（x+1）²-1
然后代入f（0）=0可求a，結(jié)合函數(shù)y=F（x）為奇函數(shù)及x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）可求F（x）
（2）代入整理求出g（x），分類討論函數(shù)g（x）為一次函數(shù)及二次函數(shù)兩種情況分別 討論即可求解

解答：解：（1）∵f（-2）=f（0）=0，
∴函數(shù)的對(duì)稱軸x=-1
∵f（x）的最小值為-1．
由題意可設(shè)f（x）=a（x+1）²-1
∵f（0）=a-1=0
∴a=1
∴f（x）=x²+2x
∵y=F（x）為奇函數(shù)，
∴F（0）=0
∵當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）=x²+2x
∴x＜0時(shí)，-x＞0
∴F（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x
∴F（x）=-（-x）=-x²+2x
F（x）=

x2+2x，x＞0 0，x=0 -x2+2x，x＜0

（2）∵g（x）=f（-x）-λf（x）+1=x²-2x-λ（x²+2x）+1
=（1-λ）x²-2（1+λ）x+1
若g（x）在[-1，1]上是減函數(shù)
①若1-λ=0即λ=1時(shí)，g（x）=-4x+1在[-1，1]上單調(diào)遞減，滿足題意
②若1-λ＜0即λ＞1時(shí)，g（x）=（1-λ）x²-2（1+λ）x+1是開口向下的拋物線，對(duì)稱軸x=

1+λ

1-λ

則由題意可得

1+λ

1-λ

≤-1
∴λ＞1滿足題意
③若1-λ＞0即λ＜1時(shí)，g（x）=（1-λ）x²-2（1+λ）x+1是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸x=

1+λ

1-λ

∴

1+λ

1-λ

≥1
∴0≤λ＜1
綜上可得，λ≥0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式及函數(shù)的奇偶性在求解中的應(yīng)用，一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，具有一定的綜合性