Question

16．已知直線l₁：ax-y+1=0，l₂：x+ay+1=0，a∈R，和兩點(diǎn)A（0，1），B（-1，0），給出如下結(jié)論：
①不論a為何值時(shí)，l₁與l₂都互相垂直；
②當(dāng)a變化時(shí)，l₁與l₂分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，1）和B（-1，0）；
③不論a為何值時(shí)，l₁與l₂都關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱；
④如果l₁與l₂交于點(diǎn)M，則|MA|•|MB|的最大值是1．
其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①對(duì)a分類討論，利用兩條直線互相垂直的充要條件即可得出；
②當(dāng)a變化時(shí)，代入驗(yàn)證即可判斷出正誤；
③由①可知：兩條直線交點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，不一定在直線x+y=0上，即可判斷出正誤；
④如果l₁與l₂交于點(diǎn)M，由③可知：|MA|²+|MB|²=2，利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出正誤．

解答 解：直線l₁：ax-y+1=0，l₂：x+ay+1=0，a∈R，和兩點(diǎn)A（0，1），B（-1，0），給出如下結(jié)論：
①a=0時(shí)，兩條直線分別化為：y=-1，x=-1，此時(shí)兩條直線互相垂直；a≠0時(shí)，兩條直線斜率分別為：a，-$\frac{1}{a}$，滿足$a×（-\frac{1}{a}）$=-1，此時(shí)兩條直線互相垂直；因此不論a為何值時(shí)，l₁與l₂都互相垂直，正確；
②當(dāng)a變化時(shí)，代入驗(yàn)證可得：l₁與l₂分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，1）和B（-1，0），正確；
③由①可知：兩條直線交點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，不一定在直線x+y=0上，因此l₁與l₂關(guān)于直線x+y=0不一定對(duì)稱，不正確；
④如果l₁與l₂交于點(diǎn)M，由③可知：|MA|²+|MB|²=2，∴2≥2|MA|•|MB|，∴|MA|•|MB|的最大值是1，正確．
其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩條直線相互垂直的充要條件、圓的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．