Question

1．已知點(diǎn)A（-3，5），B（2，15），直線l：3x-4y+4=0．
（1）求過(guò)A點(diǎn)與直線l平行的直線方程；
（2）若P點(diǎn)在直線l上，求|PA|+|PB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)過(guò)A點(diǎn)與直線l平行的直線方程為3x-4y+m=0，把點(diǎn)A（-3，5）代入解得m即可得出．
（2）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{3×\frac{x-3}{2}-4×\frac{y+5}{2}+4=0}\\{\frac{y-5}{x+3}×\frac{3}{4}=-1}\end{array}\right.$，解得M．連接BM交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．

解答 解：（1）設(shè)過(guò)A點(diǎn)與直線l平行的直線方程為3x-4y+m=0，把點(diǎn)A（-3，5）代入，可得-9-20+m=0，解得m=29．
∴過(guò)A點(diǎn)與直線l平行的直線方程為3x-4y+m=0．
（2）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{3×\frac{x-3}{2}-4×\frac{y+5}{2}+4=0}\\{\frac{y-5}{x+3}×\frac{3}{4}=-1}\end{array}\right.$，解得M（3，-3）．
連接BM交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．
∴|PA|+|PB|的最小值=|BM|=$\sqrt{（3-2）^{2}+（-3-15）^{2}}$=5$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、相互平行的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．