Question

已知函數(shù)f（x）=log₂[1+2^x+a•（4^x+1）]
（1）a=-1時，求函數(shù)f（x）定義域；
（2）當(dāng)x∈（-∞，1]時，函數(shù)f（x）有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）a=-

1

2

時，函數(shù)y=f（x）的圖象與y=x+b（0≤x≤1）無交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）得出2^x（2^x-1）＜0，求解即可．（2）換元轉(zhuǎn)化為令t=2^x+1∈（1，3]，h(t)=-

t

t2-2t+2

=-

1

t+ 2 t -2

，利用對鉤函數(shù)的性質(zhì)求解．（3）利用令n=2^x∈[1，2]，g(n)=-

1

2

(n-

1

n

)+1，求解．

解答： 解：（1）a=-1時，2^x-4^x＞0，2^x（2^x-1）＜0
∴0＜2^x＜1∴x＜0，定義域為（-∞，0），
（2）由題1+2^x+a（4^x+1）＞0對一切x∈（-∞，1]恒成立a＞(-

2x+1

4x+1

)max
令t=2^x+1∈（1，3]
h(t)=-

t

t2-2t+2

=-

1

t+ 2 t -2

在(1，

2

]上單減，在[

2

，3]上單增
∴h(t)max=max{h(1)，h(3)}=-

3

5

∴a＞-

3

5

，
（3）a=-

1

2

時，log2[1+2x-

1

2

(4x+1)]-x=b(0≤x≤1)log2

- 1 2 •4x+2x+ 1 2

2x

=b，
記m=

- 1 2 •4x+2x+ 1 2

2x

=-

1

2

(2x-

1

2x

)+1
令n=2^x∈[1，2]，g(n)=-

1

2

(n-

1

n

)+1，
在[1，2]上單調(diào)遞減
∴

1

4

=g(2)≤g(n)≤g(1)=1，
∴-2≤log₂g（n）≤0，
∵圖象無交點(diǎn)，∴b＜-2或b＞0，

點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用判斷單調(diào)區(qū)間，求解范圍問題，屬于中檔題．