Question

18．如圖，正四棱錐S-ABCD中，底面邊長與高相等，K、T分別是SC、SB的中點．
（1）求證：KT∥平面SAD；
（2）求二面角K-AD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用平行公理得到KT∥AD，由此能證明KT∥平面SAD．
（2）過點K在面KAD內(nèi)作KE⊥AD，交AD于E，過點E作EF∥AB交BC于F，連接KF，∠KEF為二面角K-AD-C的平面角，由此能求出二面角K-AD-C的余弦值．

解答 （1）證明：∵正四棱錐S-ABCD中，底面邊長與高相等，K、T分別是SC、SB的中點，
∴KT∥BC，AD∥BC，∴KT∥AD，
∵AD?平面SAD，KT?平面SAD，
∴KT∥平面SAD．
（2）解：過點K在面KAD內(nèi)作KE⊥AD，交AD于E，過點E作EF∥AB交BC于F，連接KF，
∵正四棱錐S-ABCD中，底面邊長與高相等，K是SC的中點，
∴KD=KA，∴E⊥AD，∵AB⊥AD，EF∥AB，∴EF⊥AD，
則∠KEF為二面角K-AD-C的平面角，
設正四棱錐S-ABCD菱長為a，
則KD=KA=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，KE=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}-（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，EF=a，KF=KC=FC=$\frac{1}{2}a$，
∴cos∠KEF=$\frac{（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}+{a}^{2}-（\frac{1}{2}a）^{2}}{2×\frac{\sqrt{2}}{2}a×a}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$．
∴二面角K-AD-C的余弦值為$\frac{5\sqrt{2}}{8}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．