Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)，試通過建立空間直角坐標(biāo)系解決以下問題：
（1）求證：PB⊥平面EFD；
（2）若$\frac{DC}{DA}$=λ，二面角P-BD-E的大小為30°，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）分別以DA、DC、DP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PD=DC=m，DA=n，由題意得到所用點(diǎn)的坐標(biāo)，求出$\overrightarrow{DE}、\overrightarrow{PB}$的坐標(biāo)，由數(shù)量積為0證明DE⊥PB，再結(jié)合已知證得答案；
（2）由$\frac{DC}{DA}$=λ，得m=λn，求出平面PDB與平面EDB的一個(gè)法向量，把二面角P-BD-E的大小為30°轉(zhuǎn)化為兩平面法向量所成角為30°求得實(shí)數(shù)λ的值．

解答 （1）證明：如圖，分別以DA、DC、DP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PD=DC=m，DA=n，則D（0，0，0），P（0，0，m），B（n，m，0），
∵E是PC的中點(diǎn)，∴E（0，$\frac{m}{2}，\frac{m}{2}$），
$\overrightarrow{DE}$=（0，$\frac{m}{2}，\frac{m}{2}$），又$\overrightarrow{PB}=（n，m，-m）$，
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{PB}$=（0，$\frac{m}{2}，\frac{m}{2}$）•（n，m，-m）=0，
∴PB⊥DE，又EF⊥PB，DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD；
（2）解：由$\frac{DC}{DA}$=λ，得m=λn．
$\overrightarrow{DB}=（n，λn，0）$，$\overrightarrow{DP}=（0，0，λn）$，$\overrightarrow{DE}=（0，\frac{λn}{2}，\frac{λn}{2}）$，
設(shè)平面PDB的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{{e}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，平面EDB的一個(gè)法向量$\overrightarrow{{e}_{2}}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，
則由$\left\{\begin{array}{l}{n{x}_{1}+λn{y}_{1}=0}\\{λn{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，得$\overrightarrow{{e}_{1}}=（-λ，1，0）$；
由$\left\{\begin{array}{l}{n{x}_{2}+λn{y}_{2}=0}\\{\frac{λn{y}_{2}}{2}+\frac{λn{z}_{2}}{2}=0}\end{array}\right.$，得$\overrightarrow{{e}_{2}}=（-λ，1，-1）$．
∴cos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}{|\overrightarrow{{e}_{1}}|•|\overrightarrow{{e}_{2}}|}$=$\frac{{λ}^{2}+1}{\sqrt{{λ}^{2}+1}•\sqrt{{λ}^{2}+2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
解得：λ²=2，$λ=\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查利用空間向量證明線面垂直問題，考查了利用空間向量求二面角的平面角，關(guān)鍵是平面法向量的求法，是中檔題．