Question

3．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且橢圓C上任意一點到兩個焦點的距離之和是4．直線l：y=kx+m與橢圓C相切于點P，且點P在第二象限．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）求點P的坐標（用k表示）；
（Ⅲ）若過坐標原點O的直線l₁與l垂直于點Q，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的定義可得a=2，再由離心率公式可得c，由a，b，c的關系可得b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）將直線y=kx+m代入橢圓方程，消去y，可得x的方程，運用判別式為0，解方程可得P的坐標；
（Ⅲ）由于l₁與l垂直于點Q，則|PQ|即為P到直線l₁的距離，設l₁：y=-$\frac{1}{k}$x，即x+ky=0，運用點到直線的距離公式，化簡整理，再由基本不等式可得最大值．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的定義可得2a=4，即a=2，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）將直線y=kx+m代入橢圓方程x²+4y²=4，可得
（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由直線和橢圓相切，可得△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）=0，
化為m²=1+4k²，
可得P的橫坐標為-$\frac{8km}{2（1+4{k}^{2}）}$=-$\frac{4k}{m}$=-$\frac{4k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
縱坐標為-$\frac{4{k}^{2}}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$+$\sqrt{1+4{k}^{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
即有P（-$\frac{4k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，$\frac{1}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$）；
（Ⅲ）由于l₁與l垂直于點Q，則|PQ|即為P到直線l₁的距離，
設l₁：y=-$\frac{1}{k}$x，即x+ky=0，
可得|PQ|=$\frac{|\frac{-4k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}+\frac{k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{3k}{\sqrt{4{k}^{4}+5{k}^{2}+1}}$=$\frac{3}{\sqrt{4{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+5}}$≤$\frac{3}{\sqrt{2\sqrt{4{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}+5}}$=$\frac{3}{3}$=1．
當且僅當4k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，|PQ|取得最大值1．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的定義和離心率公式，考查直線和橢圓相切的條件，注意運用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用判別式為0，考查點到直線的距離公式以及基本不等式的運用：求最值，屬于中檔題．