Question

15．已知球O的體積等于$\frac{125π}{6}$，如果長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積的最大值等于50．

Answer 1

分析 求出球半徑，設(shè)出長(zhǎng)方體的三度，求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)就是確定直徑，推出長(zhǎng)方體的表面積的表達(dá)式，然后求出最大值．

解答 解：∵球O的體積等于$\frac{125π}{6}$=$\frac{4π}{3}{R}^{3}$，
∴球O的半徑R=$\frac{5}{2}$，
設(shè)長(zhǎng)方體的三度為：a，b，c，球的直徑就是長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，
由題意可知a²+b²+c²=5²=25，長(zhǎng)方體的表面積為：2ab+2ac+2bc≤2a²+2b²+2c²=50；
當(dāng)a=b=c時(shí)取得最大值，也就是長(zhǎng)方體為正方體時(shí)表面積最大．
故答案為：50．

點(diǎn)評(píng) 本題考查長(zhǎng)方體的外接球的知識(shí)，長(zhǎng)方體的表面積的最大值的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力；注意利用基本不等式求最值時(shí)，正、定、等的條件的應(yīng)用．