Question

2．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-2x在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{5}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增?f′（x）≥0恒成立，x∈[2，+∞），再分離參數(shù)即可得出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³+ax²-2x在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f′（x）=3x²+2ax-2≥0，
即a≥-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{x}$在區(qū)間[2，+∞）上恒成立，
令g（x）=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{x}$，g′（x）=-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，
g（x）在[2，+∞）單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=g（2）=-$\frac{5}{2}$，
∴實數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{5}{2}$，+∞）．
故答案為：[-$\frac{5}{2}$，+∞）．

點評 熟練掌握函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系及其分離參數(shù)法是解題 的關(guān)鍵．