7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,等邊△PAD所在的平面與正方形ABCD所在的平面互相垂直,O為AD的中點,E為DC的中點,且AD=2.
(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角P-EB-A的余弦值;
(Ⅲ)在線段AB上是否存在點M,使線段PM與△PAD所在平面成30°角.若存在,
求出AM的長,若不存在,請說明理由.

分析 (I)根據(jù)三線合一得出AO⊥AD,利用面面垂直的性質(zhì)即可得出AO⊥平面ABCD;
(II)以O為原點建立空間直角坐標系,求出平面PBE和平面ABE的法向量,則兩法向量夾角的余弦的絕對值為二面角的余弦值;
(III)假設存在符合條件的點M(1,x,0),求出平面PAD的法向量$\overrightarrow{OF}$,則|cos<$\overrightarrow{PM}$,$\overrightarrow{OF}$>|=$\frac{1}{2}$,解方程得出x,根據(jù)x的范圍判斷.

解答 解:(Ⅰ)∵△PAD是等邊三角形,O為AD的中點,
∴PO⊥AD,
∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD,
∴PO⊥平面ABCD.
(Ⅱ)取BC的中點F,
∵底面ABCD是正方形,∴OF⊥AD,
∴PO,OF,AD兩兩垂直.
以O為原點,以OA、OF、OP為坐標軸建立空間直角坐標系如圖:
則O(0,0,0),P(0,0,$\sqrt{3}$),B(1,2,0),E(-1,1,0),
∴$\overrightarrow{EP}$=(1,-1,$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{EB}$=(2,1,0),$\overrightarrow{OP}$=(0,0,$\sqrt{3}$).
顯然平面EBA的法向量為$\overrightarrow{OP}$=(0,0,$\sqrt{3}$).
設平面PBE的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=0}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y+\sqrt{3}z=0}\\{2x+y=0}\end{array}\right.$,令x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,-2,-$\sqrt{3}$).
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OP}$=-3,|$\overrightarrow{n}$|=2$\sqrt{2}$,|$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{3}$,
∴cos<$\overrightarrow{n},\overrightarrow{OP}$>=-$\frac{\sqrt{6}}{4}$.
∵二面角P-EB-A為銳角,∴二面角P-EB-A的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$.
(Ⅲ)設在線段AB上存在點M(1,x,0)(0<x≤2)使線段PM與平面PAD所在平面成30°角,
∵平面PAD的法向量為$\overrightarrow{OF}$=(0,2,0),$\overrightarrow{PM}$=(1,x,-$\sqrt{3}$),
∴cos<$\overrightarrow{OF}$,$\overrightarrow{PM}$>=$\frac{\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{PM}}{|\overrightarrow{OF}||\overrightarrow{PM}|}$=$\frac{x}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$.
∴sin30°=$\frac{x}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$,解得$x=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$,符合題意.
∴在線段AB上存在點M,當線段$AM=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$時,PM與平面PAD所在平面成30°角.

點評 本題考查了線面垂直的判定,空間角的計算,空間向量的應用,屬于中檔題.

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