Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），M，N是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，P是橢圓上的動點，且直線PM，PN的斜率分別為k₁，k₂，k₁k₂≠0，若|k₁|+|k₂|的最小值為

2

，則橢圓的離心率為（　�。�

• A、

  1

  3

• B、

  1

  2

• C、

  3

  3

• D、

  2

  2

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀），P（x，y），可得k₁=

y-y0

x-x0

，k₂=

y+y0

x+x0

．由于M、N、P都在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上，可得

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，

x2

a2

+

y2

b2

=1，相減可得|k₁|•|k₂|=

b2

a2

．再利用基本不等式的性質(zhì)可得|k₁|+|k₂|≥2

|k1k2|

=

2b

a

．可得

2b

a

=

2

，即可得出．

解答： 解：設(shè)M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀），P（x，y），
則k₁=

y-y0

x-x0

，k₂=

y+y0

x+x0

．
又∵M、N、P都在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上，
∴

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∴

(x0+x)(x0-x)

a2

+

(y0+y)(y0-y)

b2

=0，
∴

x-x0

y-y0

=-

a2

b2

•

y+y0

x+x0

．
∴

1

k1

=-

a2

b2

k₂，即|k₁|•|k₂|=

b2

a2

．
又∵|k₁|+|k₂|≥2

|k1k2|

=

2b

a

．
∴

2b

a

=

2

，即2b²=a²，
∴2（a²-c²）=a²，即2c²=a²，
∴

c2

a2

=

1

2

，即e²=

1

2

，
∴e=

2

2

．
答案  D．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、斜率計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．