Question

3．如圖，橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）左、右頂點為A，B，左、右焦點為F₁，F(xiàn)₂，|AB|=4，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$．直線y=kx+m（k＞0）交橢圓E于C，D兩點，與線段F₁F₂、橢圓短軸分別交于M，N兩點（M，N不重合），且|CM|=|DN|．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AD，BC的斜率分別為k₁，k₂，求$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定2a=4，2c=2$\sqrt{3}$，求出b，即可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）直線y=kx+m（k＞0）與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理，結(jié)合|CM|=|DN|，求出m的范圍，再求$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）因為2a=4，2c=2$\sqrt{3}$，
所以a=2，c=$\sqrt{3}$，
所以b=1，
所以橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）直線y=kx+m（k＞0）與橢圓聯(lián)立，可得（4k²+1）x²+x8mk+4m²-4=0．
設(shè)D（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{8mk}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
又M（-$\frac{m}{k}$，0），N（0，m），
由|CM|=|DN|得x₁+x₂=x_M+x_N，所以-$\frac{8mk}{4{k}^{2}+1}$=-$\frac{m}{k}$，所以k=$\frac{1}{2}$（k＞0）．
所以x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-2．
因為直線y=kx+m（k＞0）交橢圓E于C，D兩點，與線段F₁F₂、橢圓短軸分別交于M，N兩點（M，N不重合），
所以-$\sqrt{3}$≤-2m≤$\sqrt{3}$且m≠0，
所以（$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$）²=[$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-2）}{{y}_{2}（{x}_{1}+2）}$]²=$\frac{（2-{x}_{1}）（2-{x}_{2}）}{（2+{x}_{2}）（2+{x}_{1}）}$
=$\frac{4-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}{4+2（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4-2•（-2m）+2{m}^{2}-2}{4+2•（-2m）+2{m}^{2}-2}$=$\frac{（m+1）^{2}}{（m-1）^{2}}$，
所以$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{1+m}{1-m}$=-1-$\frac{2}{m-1}$∈[-2$\sqrt{3}$-3，2$\sqrt{3}$-3]．

點評 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，有難度．