Question

9．在如圖所示的幾何體中，正方形ABEF所在的平面與正三角形ABC所在的平面互相垂直，CD∥BE，且BE=2CD，M是ED的中點(diǎn)．
（1）求證：AD∥平面BFM；
（2）求二面角E-BM-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AE交BF于點(diǎn)N，連接MN，MN∥AD，由此能證明AD∥平面BFM．
（2）推導(dǎo)出BE⊥AB，從而BE⊥平面ABC，取BC的中點(diǎn)O，連接OM，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E-BM-F的余弦值．

解答 證明：（1）連接AE交BF于點(diǎn)N，連接MN．
因?yàn)锳BEF是正方形，所以N是AE的中點(diǎn)，
又M是ED的中點(diǎn)，所以MN∥AD．
因?yàn)锳D?平面BFM，MN?平面BFM，
所以AD∥平面BFM．
解：（2）因?yàn)锳BEF是正方形，所以BE⊥AB，
因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC=AB，
所以BE⊥平面ABC，因?yàn)镃D∥BE，所以取BC的中點(diǎn)O，
連接OM，則OM⊥平面ABC，因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以O(shè)A⊥BC，
所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
設(shè)CD=1，則B（0，1，0），E（0，1，2），D（0，-1，1），
$M（0，0，\frac{3}{2}），F(xiàn)（\sqrt{3}，0，2）$，
$\overrightarrow{BM}=（0，-1，\frac{3}{2}），\overrightarrow{MF}=（\sqrt{3}，0，\frac{1}{2}）$．
設(shè)平面BMF的一個(gè)法向量為$\vec n=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\vec n•\overrightarrow{BM}=0\\ \vec n•\overrightarrow{MF}=0\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}-y+\frac{3}{2}z=0\\ \sqrt{3}x+\frac{1}{2}z=0\end{array}\right.$，
令$x=\sqrt{3}$，則z=-6，y=-9，所以$\vec n=（\sqrt{3}，-9，-6）$．
又因?yàn)?\overrightarrow{OA}=（\sqrt{3}，0，0）$是平面BME的法向量，
所以$cos＜\vec n，\overrightarrow{OA}＞=\frac{3}{{\sqrt{3}×\sqrt{3}+81+36}}=\frac{{\sqrt{10}}}{20}$．
所以二面角E-BM-F的余弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．