Question

在四面體ABCD中，E為AD中點，△ABC與△BCD都是邊長為4的正三角形．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）若AD=6，求點C到平面BDE的距離；
（3）若點D到平面ABC的距離為3，求二面角A-BC-D的大小；
（4）設(shè)二面角A-BC-D的大小為θ，那么θ為何值時，四面體A-BCD的體積最大，最大為多少？此時AD的長是多少？

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取BC邊中點F，連接AF，DF，容易證明BC⊥平面ADF，所以BC⊥AD，即AD⊥BC；
（2）求點C到平面BDE的距離，需過C作平面BDE的垂線，容易說明AD⊥平面BCE，AD?平面BDE，所以平面BDE⊥平面BCE，所以過C作CG⊥BE，則CG⊥平面BDE，所以求CG的長度即得點C到平面BDE的距離，通過已知的邊的長度求出BC，CE，BE三邊的長度，根據(jù)余弦定理求出cos∠BCE，接著求出sin∠BCE，根據(jù)△BCE的面積求出CG的長；
（3）根據(jù)前面得出的BC⊥平面ADF，得到平面ADF⊥平面ABC，這兩平面的交線為AF，所以過D作交線的垂線DO，則DO⊥平面ABC，所以DO=3，DF的長度能求出來，所以便可求出二面角A-BC-D的正弦值，從而求出二面角A-BC-D的大��；
（4）先說明平面AFD⊥平面BCD，所以過A作交線DF的垂線AH，則AH⊥平面BCD，AH的長度可用θ和AF的長度表示，正三角形BCD的面積可求出，根據(jù)三棱錐的體積公式即可用θ表示體積V=8sinθ，所以sinθ=1時，V取到最大值8，并且θ=90°，所以AD=

AF2+DF2

=2

6

．

解答： 解：（1）如圖，取BC中點F，連接AF，DF，∵△ABC與△BCD都是正三角形，∴BC⊥AF，BC⊥DF，AF∩DF=F；
∴BC⊥平面ADF，AD?平面ADF；
∴BC⊥AD，即AD⊥BC；
（2）由已知知：AB=BD，CA=CD，E為AD中點，∴AD⊥BE，AD⊥CE，∴AD⊥平面BCE，AD?平面BDE；
∴平面BDE⊥平面BCE，BE=平面BDE∩平面BCE；
∴過C作CG⊥BE，垂足為G，則CG⊥平面BDE，所以線段CG的長度就是點C到平面BDE的距離；
BE=

16-9

=

7

，CE=

16-9

=

7

，BC=4，∴在△BCE中，由余弦定理得：cos∠BCE=

16+7-7

2•4• 7

=

2 7

7

；
∴sin∠BCE=

1- 4 7

=

21

7

；
∴

7

•CG=4

7

•

21

7

，∴CG=

4 21

7

；
（3）由（1）知AF⊥BC，DF⊥BC，∴∠AFD是二面角A-BC-D的平面角，BC⊥平面ADF，BC?平面ABC；
∴平面ABC⊥平面ADF，過D作DO⊥AF，交AF于O，則DO=3，又DF=2

3

；
∴sin∠AFD=

3

2 3

=

3

2

，∴∠AFD=60°，即二面角A-BC-D的大小為60°；
（4）由前面知BC⊥平面ADF，BC?平面BCD；
∴平面BCD⊥平面ADF，過A作AH⊥DF，垂足為H，則AH⊥平面BCD，即線段AH的長是點A到平面BCD的距離；
∴V=

1

3

•

1

2

•4•4•sin60°•2

3

sinθ=8sinθ；
∴sinθ=1時V最大，最大為8，此時θ=90°，∴AD=

12+12

=2

6

．

點評：考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，面面垂直的性質(zhì)定理，余弦定理，二面角的概念，二面角的平面角的概念，以及三棱錐的體積公式．