Question

7．已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左，右焦點，點P（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上，且|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過F₁的直線l₁，l₂分別交橢圓E于A，C和B，D，且l₁⊥l₂，問是否存在常數(shù)λ，使得$\frac{1}{|AC|}$，λ，$\frac{1}{|BD|}$成等差數(shù)列？若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）利用橢圓的定義即可得出a，將P$（1，\frac{3}{2}）$代入橢圓方程可得b²，即可得出；
（II）對k分類討論，把直線方程代入橢圓方程得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、弦長公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（I）∵|PF₁|+|PF₂|=4，
∴2a=4，a=2．
∴橢圓E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$，
將P$（1，\frac{3}{2}）$代入可得b²=3，
∴橢圓E的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（II）①當AC的斜率為零或斜率不存在時，$\frac{1}{{|{AC}|}}+\frac{1}{{|{BD}|}}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$；
②當AC的斜率k存在且k≠0時，AC的方程為y=k（x+1），
代入橢圓方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，并化簡得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=-\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
$\begin{array}{l}|{AC}|=\sqrt{（1+{k^2}）}|{{x_1}-{x_2}}|\\=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\frac{{12（1+{k^2}）}}{{3+4{k^2}}}\end{array}$，
∵直線BD的斜率為$-\frac{1}{k}$，
∴|BD|=$\frac{12[1+（-\frac{1}{k}）^{2}]}{3+4（-\frac{1}{k}）^{2}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{|{AC}|}}+\frac{1}{{|{BD}|}}$=$\frac{{3+4{k^2}}}{{12（1+{k^2}）}}+\frac{{4+3{k^2}}}{{12（1+{k^2}）}}=\frac{7}{12}$，
綜上：$2λ=\frac{1}{{|{AC}|}}+\frac{1}{{|{BD}|}}=\frac{7}{12}$，
∴$λ=\frac{7}{24}$，
∴存在常數(shù)$λ=\frac{7}{24}$使得$\frac{1}{{|{AC}|}}，λ，\frac{1}{{|{BD}|}}$成等差數(shù)列．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．