Question

1．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD為直角梯形，對角線AC，BD交與點(diǎn)M，BC∥AD，AB⊥BC，AB=BC=1，AD=PD=2，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)N為棱PC上一動點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AC⊥ND；
（Ⅱ）若MN∥平面ABP，求三棱錐N-ACD的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)底面的圖形，線段長度判斷AC⊥CD，利用PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
轉(zhuǎn)化PD⊥AC，得出AC⊥面PCD，利用直線平面垂直問題的轉(zhuǎn)化即可得證．
（2）根據(jù)平面圖形運(yùn)用相似三角形得出DK=BK，GK=CK，MK=MB，$\frac{CM}{MA}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{MD}{MB}$=2，
把MN∥平面ABP，轉(zhuǎn)化得出MN∥AP，PD∥NW，NW=$\frac{1}{3}×2$=$\frac{2}{3}$，求解底面積，高即可求解體積．
關(guān)鍵是判斷N點(diǎn)的位置．

解答 證明（1）∵底面四邊形ABCD為直角梯形，對角線AC，BD交與點(diǎn)M，BC∥AD，AB⊥BC，AB=BC=1，AD=2，
∴AC=$\sqrt{2}$，DC=$\sqrt{2}$，
∵AD=2，
∴根據(jù)勾股定理得出AC⊥CD，
∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵CD∩PD=D，
∴AC⊥面PCD，
∵ND?平面PCD，點(diǎn)N為棱PC上一動點(diǎn)．
∴AC⊥ND；
解：（2）∵梯形ABCD中：BC∥AD，AB⊥BC，AB=BC=1，AD=PD=2，
取AD中點(diǎn)G，連接如圖：
∴DK=BK，GK=CK，MK=MB，$\frac{CM}{MA}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{MD}{MB}$=2
∵M(jìn)N∥平面ABP，
∴MN∥AP，
∴$\frac{CM}{MA}$=$\frac{CN}{NP}$=$\frac{1}{2}$，

作NW⊥面ABCD，垂足在CD上，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD∥NW，

可得$\frac{NW}{PD}$=$\frac{1}{3}$
即NW=$\frac{1}{3}×2$=$\frac{2}{3}$，
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}×$AD×1=$\frac{1}{2}×2×1$=1，
∴棱錐N-ACD的體積=$\frac{1}{3}×1×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$

點(diǎn)評 本題綜合考查了空間直線在幾何體中點(diǎn)位置關(guān)系，探索點(diǎn)的位置，把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，運(yùn)用好平行分線段成比例的知識，屬于難題．