Question

20．雙曲線3x²-y²=75上一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于12，那么點(diǎn)P到它的另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于22．

Answer 1

分析 將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得a，b，c，由c+a=15，c-a=5，可得P，F(xiàn)₁在y軸的同側(cè)，設(shè)|PF₁|=12，運(yùn)用雙曲線的定義，可得|PF₂|=2或22，檢驗(yàn)舍去2．

解答 解：雙曲線3x²-y²=75即為
$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{75}$=1，即有a=5，b=5$\sqrt{3}$，c=10，
由c+a=15，c-a=5，可得P，F(xiàn)₁在y軸的同側(cè)，
設(shè)|PF₁|=12，
由雙曲線的定義可得||PF₁|-|PF₂||=2a=10，
即有|12-|PF₂||=10，
解得|PF₂|=2或22，
由|PF₂|的最小值為c-a=5＞2，
即有|PF₂|=22，
故答案為：22．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線上的點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和焦半徑的最小值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．