Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：DM∥平面PCB；
（2）求直線AD與平面PBD所成角的正弦值；
（3）求三棱錐P-MBD的體積．

Answer 1

考點：用空間向量求直線與平面的夾角,三垂線定理,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）如圖所示，取PB的中點N，連接MN，CN．利用三角形的中位線定理及其梯形的性質(zhì)可得四邊形MNCD是平行四邊形，于是MD∥NC．再利用線面平行的判定定理即可證明．
（2）如圖所示，取AP的中點O，連接PO，OB．利用已知可得OA、OB、OP兩兩垂直．A（1，0，0），
D（-1，0，0），B(0，

3

，0)，P（0，0，1）．

DB

=(1，

3

，0)，

PB

=(0，-

3

，1)，

AD

=（-2，0，0）．設(shè)平面PBD的法向量為

n

=（x，y，z），利用

n • DB =x+ 3 y=0 n • PB =- 3 y+z=0

，可得

n

=(-3，

3

，3)．設(shè)直線AD與平面PBD所成角為θ，利用sinθ=|cos＜

n

，

AD

＞|=

| n • AD |

| n || AD |

即可得出．
（3）利用V_{三棱錐P-MBD}=V_{三棱錐B-MPD}=

1

3

•BO•S△APD即可得出．

解答： （1）證明：如圖所示，取PB的中點N，連接MN，CN．
由M為PA的中點，
∴MN

∥

.

1

2

AB，
∵CD

∥

.

1

2

AB，
∴MN

∥

.

CD．
∴四邊形MNCD是平行四邊形，
∴MD∥NC．
又MD?平面PCB，NC?平面PCB．
∴MD∥平面PCB．
（2）解：如圖所示，取AP的中點O，連接PO，OB．
∵AP=PD，∴PO⊥AD，
又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，
則PO⊥平面ABCD，
∵AD=AB，∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形．
∴OB⊥AD，
∴OB⊥平面APD．
∴OA、OB、OP兩兩垂直．
∴A（1，0，0），D（-1，0，0），B(0，

3

，0)，P（0，0，1）．
∴

DB

=(1，

3

，0)，

PB

=(0，-

3

，1)，

AD

=（-2，0，0）．
設(shè)平面PBD的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • DB =x+ 3 y=0 n • PB =- 3 y+z=0

，令y=

3

，則z=3，x=-3．
∴

n

=(-3，

3

，3)．
設(shè)直線AD與平面PBD所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

n

，

AD

＞|=

| n • AD |

| n || AD |

=

6

2 9+3+9

=

21

7

．
（3）∵BO⊥平面APD，BO=

3

．
又∵S_△MPD=

1

2

S△APD=

1

2

×

1

2

(

2

)2=

1

2

．
∴V_{三棱錐P-MBD}=V_{三棱錐B-MPD}=

1

3

•BO•S△APD=

1

3

×

3

×

1

2

=

3

6

．

點評：本題綜合考查了三角形的中位線定理及其梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、平面的法向量、線面角、三棱錐的體積計算公式，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．