Question

18．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=BC=1，∠ABC=90°，外接球的球心為O，點(diǎn)E是側(cè)棱BB₁上的一個動點(diǎn)．有下列判斷：
①直線AC與直線C₁E是異面直線；
②A₁E一定不垂直AC₁；
③三棱錐E-AA₁O的體積為定值；
④AE+EC₁的最小值為$2\sqrt{2}$．
其中正確的個數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，由異面直線的概念判斷①；利用線面垂直的判定與性質(zhì)判斷②；找出球心，由棱錐底面積與高為定值判斷③；設(shè)BE=x，列出AE+EC₁關(guān)于x的函數(shù)式，結(jié)合其幾何意義求出最小值判斷④．

解答 解：如圖，

∵直線AC經(jīng)過平面BCC₁B₁內(nèi)的點(diǎn)C，而直線C₁E在平面BCC₁B₁內(nèi)不過C，∴直線AC與直線C₁E是異面直線，故①正確；
當(dāng)E與B重合時(shí)，AB₁⊥A₁B，而C₁B₁⊥A₁B，∴A₁B⊥平面AB₁C₁，則A₁E垂直AC₁，故②錯誤；
由題意知，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心為O是AC₁ 與A₁C 的交點(diǎn)，則△AA₁O的面積為定值，由BB₁∥平面AA₁C₁C，
∴E到平面AA₁O的距離為定值，∴三棱錐E-AA₁O的體積為定值，故③正確；
設(shè)BE=x，則B₁E=2-x，∴AE+EC₁=$\sqrt{1+{x}^{2}}+\sqrt{1+（2-x）^{2}}$．由其幾何意義，即平面內(nèi)動點(diǎn)（x，1）與兩定點(diǎn)（0，0），（2，0）距離和的最小值知，其最小值為$2\sqrt{2}$，故④正確．
∴正確命題的個數(shù)是3個．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查空間想象能力和思維能力，屬中檔題．