Question

已知函數f（x）=x²-alnx-x（a≠0）．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若a＞0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數f（x）圖象上的任意兩點（x₁＜x₂），記直線AB的斜率為k，求證：f′（

x1+2x2

3

）＞k．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先求導，再根據a的值進行分類討論，得到函數的單調區(qū)間．
（2）先求導，根據題意，由直線的斜率公式可得k的值，利用分析法證明f′（

x1+2x2

3

）＞k．轉化為只需要證明

ln x1 x2

x1-x2

＞

3

x1+2x2

，再構造函數g（t），判斷函數在（0，1）上單調性，問題得以證明

解答： 解：（1）f′(x)=2x-

a

x

-1=

2x2-x-a

x

(x＞0)                    
（i）當a≤-

1

8

時，2x²-x-a≥0 恒成立，即f'（x）≥0恒成立，
故函數f（x）的單增區(qū)間為（0，+∞），無單減區(qū)間．
（ii）當-

1

8

＜a＜0時，f′（x）＞0⇒2x²-x-a＞0，
解得：x＞

1+ 1+8a

4

或x＜

1- 1+8a

4

∵x＞0，∴函數f（x）的單增區(qū)間為(0，

1- 1+8a

4

)，(

1+ 1+8a

4

，+∞)，
單減區(qū)間為(

1- 1+8a

4

，

1+ 1+8a

4

)．
（iii）當a＞0時，由f′（x）＞0解得：x＞

1+ 1+8a

4

或x＜

1- 1+8a

4

．
∵x＞0，而此時

1- 1+8a

4

＜0，∴函數f（x）的單增區(qū)間為(

1+ 1+8a

4

，+∞)，
單減區(qū)間為(0，

1+ 1+8a

4

)．
綜上所述：
（i）當a≤-

1

8

時，f（x）的單增區(qū)間為（0，+∞），無單減區(qū)間．
（ii）當-

1

8

＜a＜0時，f（x）的單增區(qū)間為(0，

1- 1+8a

4

)，(

1+ 1+8a

4

，+∞)，
單減區(qū)間為(

1- 1+8a

4

，

1+ 1+8a

4

)．
（iii）當a＞0時，f（x）的單增區(qū)間為(

1+ 1+8a

4

，+∞)，單減區(qū)間為(0，

1+ 1+8a

4

)．
（2）證明：∵f′(x)=2x-

a

x

-1
∴f′(

x1+2x2

3

)=

2(x1+2x2)

3

-

3a

x1+2x2

-1
由題意得，k=

y1-y2

x1-x2

=

(x1 2-x2 2)-a(lnx1-lnx2)-(x1-x2)

x1-x2

=(x1+x2)-

aln x1 x2

x1-x2

-1
則：f′(

x1+2x2

3

)-k=

2(x1+2x2)

3

-(x1+x2)-

3a

x1+2x2

+

aln x1 x2

x1-x2

=

x2-x1

3

-

3a

x1+2x2

+

aln x1 x2

x1-x2

                        
注意到

x2-x1

3

＞0，
故欲證f′(

x1+2x2

3

)＞k，
只須證明：

aln x1 x2

x1-x2

＞

3a

x1+2x2

．
因為a＞0，故即證：

ln x1 x2

x1-x2

＞

3

x1+2x2

令

x1

x2

=t∈(0，1)，g(t)=lnt-

3(t-1)

t+2

                                 
則：g′(t)=

1

t

-

9

(t+2)2

=

(t-1)(t-4)

t(t+2)2

＞0 
故g（t）在（0，1）上單調遞增．                                            
即：lnt＜

3(t-1)

t+2

，
即：ln

x1

x2

＜

3( x1 x2 -1)

x1 x2 +2

所以：f′(

x1+2x2

3

)＞k．

點評：本題考查導數的應用，涉及斜率，最大值、最小值的求法，是綜合題；關鍵是理解導數的符號與單調性的關系，并能正確求出函數的導數，屬于難題．