Question

4．已知點F₁是拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點，點F₂為拋物線C的對稱軸與其準(zhǔn)線的交點，過F₂作拋物線C的切線，切點為A，若點A恰好在以F₁，F(xiàn)₂為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． $\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的性質(zhì)，設(shè)出直線方程，代入拋物線方程，求得k的值，設(shè)出雙曲線方程，求得2a=丨AF₂丨-丨AF₁丨=（$\sqrt{2}$-1）p，利用雙曲線的離心率公式求得e．

解答 解：直線F₂A的直線方程為：y=kx-$\frac{p}{2}$，F(xiàn)₁（0，$\frac{p}{2}$），F(xiàn)₂（0，-$\frac{p}{2}$），
代入拋物線C：x²=2py方程，整理得：x²-2pkx+p²=0，
∴△=4k²p²-4p²=0，解得：k=±1，
∴A（p，$\frac{p}{2}$），設(shè)雙曲線方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，
丨AF₁丨=p，丨AF₂丨=$\sqrt{{p}^{2}+{p}^{2}}$=$\sqrt{2}$p，
2a=丨AF₂丨-丨AF₁丨=（$\sqrt{2}$-1）p，
2c=p，
∴離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}$+1，
故答案選：D．

點評 本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力，屬于中檔題．