Question

3．橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過點(diǎn)F₁且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為$\sqrt{2}$，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)（0，2）是否存在直線l與橢圓交于不同的A，B兩點(diǎn)．使OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若存在求直線方程，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²，聯(lián)立解得即可得出；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²，聯(lián)立解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1．…（3分）
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．                                …（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+2\end{array}\right.，消去y得：$（1+2k²）x²+8kx+6=0…（6分）
則$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{-8k}{{1+2{k^2}}}\\{x_1}•{x_2}=\frac{6}{{1+2{k^2}}}\end{array}\right.⇒{k^2}＞\frac{3}{2}$…（8分）
∵OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，k²=5，$k=±\sqrt{5}$＜
∴$l的方程為y=±\sqrt{5}x+2$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．