Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-4|-|x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤1的解集；
（Ⅱ）若{x|f（x）≥t²-2t}∩{x|0≤x≤2}≠∅，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)絕對值的幾何意義求出不等式的解集即可；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為f（x）_max≥t²-2t在[0，2]成立，求出f（x）的最大值，解出t即可．

解答 解：（Ⅰ）由|x-4|-|x-1|的幾何意義知：
f（x）表示點P（x，0）到點A（4，0）和點B（1，0）的距離之差，
故{x|x≥2}；
（Ⅱ）使{x|f（x）≥t²-2t}∩{x|0≤x≤2}≠∅成立，
知存在x₀∈[0，2]使得f（x₀）≥t²-2t成立，
即f（x）_max≥t²-2t在[0，2]成立，
f（x）在[0，2]上的最大值是3，
∴t²-2t≤3，解得：-1≤t≤3．

點評 本題考查了絕對值的意義，考查解絕對值不等式問題，是一道中檔題，